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高斯算术的妙用

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高斯算术的妙用

在数学世界的王国里,曾出现过无数的天才,其中有一位就是人称“数学王子”的高斯。相信大家都知道,高斯在小时候就巧妙地解出了老师出的一道难题:1 2 3 4 5 …… 100=?你一定也知道这是什么题型吧,不错,这就是后来被称为“高斯算术”的等差数列求和。

这一天,爸爸给我讲了高斯的这个故事,并考我:“1到10的整数之和是多少?”我听了题,心想:太简单了,我用配对法不就可以了吗?想完,我就立刻算了起来:1 10=11;2 9=11;3 8=11;4 7=11;5 6=11;一共5组,11×5=55。

“对了”,爸爸点了点头,加大了难度,继续考我:“刚才没考倒你,那你知道1到30中的偶数加起来是多少?”这个……我马上想用刚才的计算方法,2 30=32,可是一共几组呀?配好了对,一组组去数也太繁琐了吧?此时的我,真是一筹莫展,只好向爸爸请教。

爸爸却卖起了关子,“我们先来想一下高斯的办法吧,那些数经过高斯一一配对,每一对数的和其实就是平均数的两倍,我们把这个和除以2,那是不是表示,有多少个数就相当于有多少个平均数?”

爸爸看我点点头,继续说道:“这样就形成了一个公式,和=(首项 未项)÷2×项数。”

“那这个项数怎么知道呀?”我想起刚才我卡住的地方,急忙问道。

“这个项数呀,表示有多少个数,这和他们的公差有关,高斯那道题,因为是自然数,他们的公差是1,所以没体现出来,但我们现在求的是偶数之和,他们的公差是2,项数的重要性就体现出来了。”

爸爸看我着急的样子,就在纸上写下一个公式:项数=(末项-首项)÷公差 1,并解释说:“这个公式中‘末项—首项’求出的是总差,再除以公差,再加上1就得到了项数。”

“为什么要加1呀?”

“这就像我们种树,每一个树坑就是一个项,间距就是公差,我们从第一个坑到最后一个坑的距离是总长度,总长度除以间距得出的是什么呢?对了,是一共有几个间距,我们关注的是有几个坑,种树的“坑”的是不是要比“间距”多“1”呀?”

听了爸爸的解答,我马上列出一个算式来:(30-2)÷2 1=15,(2 30)÷2×15=240。是呀,“首项 末项”是平均数的两倍,因此要除以2,然后乘以“项数”就可以得出答案了。

我高兴地在纸上写下了这个公式:和=(首项 未项)÷2×项数。咦,这个公式怎么这么眼熟呢?我开始在脑海中搜寻,哦,梯形的面积公式和它很相似呀——梯形的“上底 下底”不就相当于“首项 末项”吗?如果把高看成公式中的项数,那么“×高÷2”不就是“×项数÷2”吗?

其实,这不是想起数学上的“堆木头”问题吗?要计算木头的总数,以前总是一层层相加,计算得很累,还容易出错,要求它们的面积是相当于求等差数列的和,公式就可以通用,那么不就可以应用起来了吗?右图的钢管总数=(第一层 第四层)÷2×层数=(2 5)÷2×4=14根,我一数,正确!

我的思考又向前迈了一步:与梯形比较相似的是三角形,如果,我们把三角形看成上底是“0”的一个梯形,那三角形面积的公式不就成了(0 底)÷2×项数(高),我茅塞顿开:原来它们都是一个祖宗生出来的!

看来,在数学世界中,隐藏着无数的奥秘和宝藏,只要我们用心探索,一定会有意想不到的收获!

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